Fabian Koch studierte Posaune und Pädagogik an den Hochschulen in Berlin und Leipzig. Zu seinen Lehrern zählten Olaf Ott, Helge von Niswandt und Thomas Leyendecker, er besuchte Meisterkurse bei Werner Schrietter, Oliver Siefert und Wim Becu.
Der gebürtige Ludwigsburger sammelte Orchestererfahrung während eines Praktikums beim Brandenburgischen Staatsorchester Frankfurt/Oder, in der Jungen Deutschen Philharmonie, sowie bei verschiedenen Jugendorchestern, darunter das Landesjugendorchester Berlin und die Junge Sinfonie Berlin. Er spielte als Aushilfe beim Konzerthausorchester Berlin, den Berliner Sinfonikern, der sächsischen Bläserphilharmonie, der klassischen Philharmonie Bonn und der südwestdeutschen Philharmonie Konstanz. Konzertreisen führten ihn nach Spanien, Italien, Südkorea und Costa Rica.
Als Lehrer für tiefe Blechblasinstrumente war er von 2013 bis 2019 an der Musikschule Westallgäu tätig. Seit 2018 unterrichtet er an der Musikschule Uhldingen-Mühlhofen, seit Ende 2019 ist er hier Musikschulleiter. Die Fortbildung „Führung und Leitung einer Musikschule“ an der Bundesakademie Trossingen schloss er im Jahr 2022 ab. Zusätzlich unterrichtet er seit 2019 an der Musikschule Friedrichshafen.
Als Dirigent leitete er für fünf Jahre die Musikkapelle Eriskirch, seit 2019 ist er in gleicher Position bei der Stadtkapelle Tettnang. Ebenfalls im Jahr 2019 übernahm er die Leitung der Jugendkapelle Uhldingen-Mühlhofen.